왜 영원한 가치를 계산할까? 현실의 금융을 설명하는 무한의 수학

오늘은 영원히 지속되는 현금흐름 중의 하나인 영구 연금(Perpetuity에 대해 알아보겠습니다. 영원히 지속되는 현금흐름? 전혀 쓸 데 없어 보일 수 있지만, 엄청 실용적으로 쓰이는 주제이지요.

화폐의 시간 가치(Time Value of Money)를 공부할 때, 우리는 보통 단일 일시불(single lump sums)부터 시작합니다. 하지만 현실 세계에서 금융이 그렇게 단순한 경우는 드뭅니다. 주택 담보 대출, 자동차 대출, 은퇴 저축, 그리고 주식 배당금은 모두 반복적으로 발생하는 현금 흐름을 수반합니다. 이러한 복잡한 현금 흐름의 가치는 어떻게 평가할까요?

이 때 많이 이용되는 것이 영원히 지속되는 현금흐름, 즉 영구 연금(Perpetuity)입니다. 이는 언뜻 터무니 없어 보입니다. 그런데 사실 영구 연금은 우리가 매일 사용하는 실용적인 도구들의 수학적 “뼈대”입니다. 영원히 지속되는 현금 흐름의 가치를 평가하는 방법을 이해한다면, 복잡한 공식을 외우지 않고도 그 논리를 활용해 30년 만기 주택 담보 대출이나 5년 만기 자동차 대출과 같은 ‘연금(Annuity)’ 모델을 쉽게 “만들어낼” 수 있습니다. 무한한 흐름을 가져와서 멈춰야 할 시점에 단순히 “잘라내면” 되는 것입니다. 이 글에서는 이 논리를 단계별로 살펴보겠습니다.

• 영구 연금(Perpetuity): 기초 (무한하고 일정한 현금 흐름).
• 이연 영구 연금(Deferred Perpetuity): 먼 미래를 위한 계획.
• 성장형 영구 연금(Growing Perpetuity): 성장과 인플레이션 반영.
• 연금(Annuity): “두 영구 연금 간의 차이” (현실 세계의 대출 및 저축).

이제 기초부터 시작하겠습니다.

1. 영구 연금 (Perpetuity)

다수의 현금 흐름을 효율적으로 다루기 위해, 다소 이론적으로 보일 수 있지만 유용한 특수한 경우, 즉 무한한 현금 흐름부터 시작합니다.

개념
영구 연금은 영원히 계속되는 동일한 현금 흐름( \(C\) )의 연속으로 정의됩니다. 주요 특징은 다음과 같습니다.

• 현금 흐름 금액( \(C\) )은 일정합니다.
• 지급은 일정한 간격(일반적으로 매년 말)으로 발생합니다.
• 기간은 무한대( \(t \to \infty\) )입니다.

공식 및 도출 과정
무한한 항을 더해야 하기 때문에 무한한 흐름의 현재 가치( \(PV\) )를 계산하는 것은 불가능해 보일 수 있습니다. 하지만 도출 과정에서 볼 수 있듯이, 등비수열을 사용하면 수학적으로 매우 단순화됩니다. 현금 흐름의 현재 가치를 풀어쓰면 다음과 같은 무한 등비급수가 됩니다.

$$
PV = \frac{C}{(1+r)^1} + \frac{C}{(1+r)^2} + \frac{C}{(1+r)^3} + \dots \quad (1)
$$

이를 풀기 위해 수학적 트릭을 사용할 수 있습니다. 먼저, 전체 방정식을 \((1+r)\) 로 나눕니다.

$$
\frac{PV}{(1+r)} = \frac{C}{(1+r)^2} + \frac{C}{(1+r)^3} + \frac{C}{(1+r)^4} + \dots \quad (2)
$$

다음으로, 방정식 (1)에서 방정식 (2)를 빼면, 우변의 첫 번째 항을 제외한 모든 항이 상쇄됩니다.

$$
PV – \frac{PV}{(1+r)} = \frac{C}{(1+r)}
$$

\(PV\) 에 대해 풀면 다음과 같이 고전적인 영구 연금 공식으로 단순화됩니다.

$$
PV = \frac{C}{r}
$$

(참고: 이는 첫 번째 지급이 지금으로부터 한 기간 후인 \(t=1\) 에 발생한다고 가정합니다.)

예시
영원히 매년 100달러를 지급하기로 약속하는 “콘솔 공채(Consol bond)”(과거 영국 정부가 발행한 영구 채권의 일종)나 우선주를 상상해 보세요. 현재 연 이자율(또는 요구 수익률)이 5%라면, 이 소득 흐름의 현재 가치는 얼마일까요? 공식을 사용해 보겠습니다.

$$
PV = \frac{\$100}{0.05} = \$2,000
$$

이는 (5%의 할인율을 가정할 때) 영원히 100달러를 받는 것이 오늘 현금 2,000달러를 갖는 것과 재무적으로 동일하다는 것을 의미합니다.

---

2. 이연 영구 연금 (Deferred Perpetuity)

현실 세계의 재무 설계가 항상 즉각적인 수익만을 다루는 것은 아닙니다. 때로는 미래를 위한 소득 흐름을 설정하기도 합니다. 여기서 이연 영구 연금의 개념이 등장합니다.

개념
이연 영구 연금은 위에서 논의한 표준 영구 연금과 마찬가지로 일정하고 무한한 현금 흐름의 연속이지만, 지급이 즉시 시작되지 않습니다. 그 대신 미래의 특정 날짜에 시작됩니다.

계산 트릭
이를 계산하려면 두 단계의 과정이 필요하며, 피해야 할 흔한 함정이 있습니다. 표준 영구 연금 공식( \(PV = C/r\) )은 첫 번째 지급이 이루어지기 정확히 한 기간 전의 현금 흐름 가치를 계산합니다. 만약 영구 연금이 3년 후부터 지급되기 시작한다면, 표준 공식을 적용했을 때 나오는 값은 2년 차 말 기준의 현금 흐름 가치입니다. 오늘(0 시점)의 가치를 구하려면, 그 금액을 남은 2년 동안의 기간에 맞춰 다시 할인해야 합니다.

예시: “조기 은퇴” 자금
개인 재무 시나리오를 살펴보겠습니다. 여러분이 은퇴 소득 흐름을 계획하고 있다고 가정해 보겠습니다. 여러분은 영원히 매년 12,000달러를 지급하는 펀드를 오늘 설정하고 싶지만, 당장 그 수입이 필요하지는 않습니다. 첫 번째 지급액이 오늘로부터 정확히 5년 후에 들어오기를 원합니다. 현재 이자율은 4%입니다. 이를 실현하려면 오늘 얼마를 예치해야 할까요?

1단계: 지급이 시작되기 직전의 가치 구하기.
첫 번째 지급이 5년 차에 이루어지므로, 영구 연금 공식은 4년 차 말 시점에서의 흐름 총가치를 제공합니다.

$$
Value \ at \ Year \ 4 = \frac{\$12,000}{0.04} = \$300,000
$$

이는 미래에 12,000달러의 지급액을 영원히 유지하려면 지금으로부터 4년 후에 계좌에 정확히 300,000달러가 있어야 함을 의미합니다.

2단계: 오늘 가치로 할인하기.
이제 4년 후에 300,000달러를 모으려면 오늘 얼마를 투자해야 하는지 알아내야 합니다. 우리는 이 일시불을 4%의 이자율로 4기간 동안 역산하여 할인합니다.

$$
PV \ today = \frac{\$300,000}{(1 + 0.04)^4}
$$

$$
PV \ today = \frac{\$300,000}{1.16986}
$$

$$
PV \ today \approx \$256,442
$$

이 미래의 소득 흐름을 확보하려면 오늘 약 256,442달러를 투자해야 합니다.

---

3. 성장형 영구 연금 (Growing Perpetuity)

현실 세계에서 현금 흐름이 영원히 똑같이 유지되는 경우는 드뭅니다. 인플레이션으로 인해 물가가 상승하고, 성공적인 기업은 수익을 늘립니다. 이로 인해 성장형 영구 연금 개념이 필요해집니다.

개념
성장형 영구 연금은 일정하지 않고 일정한 비율, 즉 \(g\) 의 속도로 영원히 성장하는 무한한 현금 흐름입니다.

• 첫 번째 지급액은 \(C\) 입니다.
• 두 번째 지급액은 \(C(1+g)\) 입니다.
• 세 번째 지급액은 \(C(1+g)^2\) 이며, 이런 식으로 계속됩니다.

공식 및 도출 과정
여기서의 수학은 표준 영구 연금과 비슷한 논리를 따릅니다. 성장하는 흐름의 현재 가치부터 시작하겠습니다.

$$
PV = \frac{C}{(1+r)^1} + \frac{C(1+g)^1}{(1+r)^2} + \frac{C(1+g)^2}{(1+r)^3} + \dots \quad (1)
$$

이를 풀기 위해 이전 트릭의 약간 더 발전된 버전을 사용합니다. 단순히 \((1+r)\) 로 나누는 대신, 전체 방정식에 수익에 대한 성장의 비율을 곱합니다.

$$
\left(\frac{1+g}{1+r}\right)
$$

새 방정식을 원래 방정식에서 빼면 중간 항들이 상쇄되어 깔끔하고 강력한 공식이 남습니다.

$$
PV = \frac{C}{r – g}
$$

(참고: 이 공식은 이자율 \(r\) 이 성장률 \(g\) 보다 엄격하게 클 때만 작동합니다. 만약 \(g \ge r\) 이면, 그 가치는 무한대가 될 것입니다!)

예시: 배당주 가치 평가
이 공식의 가장 흔한 응용 분야는 성숙한 기업의 주식 가치를 평가하는 것입니다(종종 고든 성장 모형이라고 불림). 여러분이 안정적인 유틸리티 회사의 주식 매수를 고려하고 있다고 상상해 보세요. 이 회사는 내년에 4.00달러의 배당금을 지급할 것으로 예상됩니다. 회사가 탄탄하기 때문에, 여러분은 이 배당금이 인플레이션을 따라잡기 위해 매년 영원히 2%( \(g=0.02\) )씩 성장할 것으로 예상합니다. 주식의 위험을 고려할 때, 여러분은 투자금에 대해 연 6%( \(r=0.06\) )의 수익률을 요구합니다. 오늘 여러분이 이 주식에 지불해야 할 최대 가격은 얼마일까요?

$$
PV = \frac{\$4.00}{0.06 – 0.02}
$$

$$
PV = \frac{\$4.00}{0.04} = \$100
$$

성장형 영구 연금 모델에 따르면, 이 주식은 오늘 여러분에게 정확히 100달러의 가치가 있습니다.

---

4. 연금 (Annuity)

마침내, 일상생활에서 가장 흔하게 마주치게 될 재무 구조인 ‘연금’에 도달했습니다.

개념
영구 연금은 영원히 지속되지만, 현실 세계의 대부분의 현금 흐름은 그렇지 않습니다. 연금은 정해진 유한한 햇수( \(T\) ) 동안 발생하는 일정한 현금 흐름( \(C\) )의 집합일 뿐입니다. 흔한 예로는 자동차 대출, 주택 담보 대출, 은퇴 연금 지급 등이 있습니다.

“뺄셈” 트릭
개별 현금 흐름을 일일이 모두 더할 수도 있겠지만, 그러려면 시간이 너무 오래 걸립니다. 대신, 우리는 앞선 섹션들에서 도출한 기발한 논리를 사용할 수 있습니다. 연금을 두 영구 연금 간의 차이라고 생각해 보세요.

• 영구 연금 A: 오늘(1 시점) 시작.
• 영구 연금 B: 미래( \(T+1\) 시점)에 시작.

(영원히 지급되는) 영구 연금 A에서 ( \(T+1\) 년도부터 영원히 지급되는) 영구 연금 B를 빼면, 정확히 1년 차부터 \(T\) 년 차 사이의 현금 흐름만 남게 됩니다. 이것이 바로 우리의 연금입니다!

공식 및 도출 과정
위의 논리를 사용하면 수학은 단순한 뺄셈이 됩니다.

$$
PV = (PV \ of \ Perpetuity \ A) – (PV \ of \ Perpetuity \ B)
$$

우리는 영구 연금 A의 가치가 \(\frac{C}{r}\) 임을 알고 있습니다. 영구 연금 B의 가치 역시 \(\frac{C}{r}\) 이지만, \(T\) 년 만큼 이연되었으므로 \((1+r)^T\) 로 할인해야 한다는 것도 알고 있습니다.

$$
PV = \frac{C}{r} – \frac{C/r}{(1+r)^T}
$$

\(\frac{C}{r}\) 로 묶어내면, 전 세계 모든 재무 교과서에서 사용되는 그 유명한 연금 공식을 얻게 됩니다.

$$
PV = \frac{C}{r} \left( 1 – \frac{1}{(1+r)^T} \right)
$$

때로는 대괄호 안의 용어가 \(A_r^T\) 로 줄여져 쓰이기도 하며, 이를 연금 계수(Annuity Factor)라고 합니다.

예시: 자동차 구매
이를 대출에 적용해 보겠습니다. 자동차 대금을 갚기 위해 향후 5년 동안 매년 6,000달러를 지불할 여력이 있다고 가정해 봅시다. 은행은 5%의 이자율을 청구합니다. 오늘 여러분은 얼마나 비싼 차를 살 수 있을까요?

• \(C = 6,000\)
• \(r = 0.05\)
• \(T = 5\)

$$
PV = \frac{6,000}{0.05} \left( 1 – \frac{1}{(1.05)^5} \right)
$$

먼저 영구 연금 가치(가능한 최대 가치)를 계산합니다.

$$
\frac{6,000}{0.05} = 120,000
$$

다음으로 조정 계수를 계산합니다 (5년 후에 지불을 중단하기 때문입니다).

$$
1 – \frac{1}{1.2763} \approx 1 – 0.7835 = 0.2165
$$

$$
PV = 120,000 \times 0.2165 \approx \$25,980
$$

따라서 이러한 지불 조건으로 오늘 약 25,980달러의 대출을 받을 수 있습니다.